Bolyai Farkas (1775—1856) és Bolyai János (1802—1860) régen elfoglalta méltó helyét a tudományban. Nemcsak mi, magyarok, de az egész világ megtanulta a Bolyaiak nevét. A tudománytörténet a halhatatlan tudósok sorába emelte ôket, lezártnak, befejezettnek tekinti életmûvüket. A két tudós portréját a köztudatban az irodalom alakította ki, és magánéletükbôl az apa-fiú viszonyt az összeférhetetlenség, a diszharmónia irányába dramatizálta. Azt hittük, hogy a két magyar tudósról már minden lényegeset elmondtunk. A haláluk óta eltelt 140 év elegendô kellett volna legyen ahhoz, hogy minden valamirevaló rejtôzködô gondolatukat napvilágra hozzuk, megértsük és közreadjuk. Az újabban feltárt matematikai témájú levelekbôl és hagyatékuk sok ezer oldalas feljegyzéseibôl elôkerült adatok azonban a róluk alkotott eddigi emberi-tudósi portré átértékelését sürgetik. A tények fényében kötelességünk átgondolni tudománytörténeti rangsorolásukat, egymáshoz fûzôdô kapcsolatukat.
Az irodalom — a tudomány és a szépirodalom egyaránt — együtt emlegeti a Bolyaiak nevét. Ez érthetô, hisz a vérségi köteléken túl a nehéz tudóssors is egymáshoz láncolta ôket, meg a két évezredes probléma, amelynek megoldásán fáradoztak. "Ezt a két embert — írja Németh László — nemcsak példátlan heves apa-fiú viszony s az azonos és egymásra utaló foglalkozás kapcsolta össze, hanem egy és ugyanaz a probléma, az emberi agyban felmerültek közt tán a legmegdöbbentôbb, megoldásában a legcsodálatosabb."
A két Bolyai — apa és fiú — élete folyamán számos levelet váltott. Kezdve attól az idôtôl, amikor 1818-ban János beiratkozik a bécsi hadmérnöki akadémiára, életük alkonyáig szünet nélkül küldik egymásnak a hosszabb-rövedebb árkusokat. Eleinte a távolság, Bécs—Marosvásárhely, Temesvár—Marosvásárhely, volt a levélváltások magától értetôdô oka, késôbb, idôs korukban — miután ismét egy városba kerültek — fôként a mindkettôjüket foglalkoztató tudományos gondolatok kicserélése s az egymásra utaltság sarkallta ôket írásra. Az apa különben is szeretett levelet írni ("nem restellte [...] egymásután száz levelet írni, sôt beteg volt belé, ha a világot el nem áraszthatta" — mondja némi túlzással János), természetes, hogy a levelek jelentôs része fiának szólt.
Amint Benkô Samu1 is hangsúlyozza, a levélírás mifelénk, a Bolyaiak idejében sokkal fontosabb szerepet töltött be a tudományos munkálkodásban, mint manapság. De nemcsak nálunk volt ez így. Régebben a tudományos közlésnek és kapcsolatteremtésnek világszerte szinte kizárólagos eszköze a levél. Elég, ha például a matematika terén Fermat2 és Gauss3 kortársaikkal folytatott levelezésére utalunk. De a levélírásnak a magánéletben is nagyobb volt a szerepe, mint manapság, hiszen a nagy távolságokat úttalan utakon csak lovas fogattal vagy gyalogszerrel lehetett áthidalni.
Bolyai Farkas és Bolyai János levelezésének tekintélyes része ma már közismert. Számos Bolyai-levél Jakó Zsigmond4 és Benkô Samu5 gondozásában vált az olvasók számára könnyen hozzáférhetôvé, és fontos szerephez jutott az 1952-ben új lendülettel megindult Bolyai-kutatásban: nélkülözhetetlen és hiteles források a Bolyaiak élete és munkássága több ismeretlen mozzanatának megvilágításában. A levelek közlésével Jakó Zsigmond és különösen Benkô Samu nagy szolgálatot tett azok számára, akik érdeklôdésének homlokterében az utóbbi évtizedekben a két Bolyai állt. Hosszan sorolhatnánk a különbözô tudományos munkákban vagy népszerûsítô írásokban ezekre a levelekre hivatkozók névsorát. Tanulmányozásuk új távlatokat nyitott a búvárkodóknak. A levelek hûen mutatják be a két tudós-matematikus mindennapi gondjait és az ôket foglalkoztató tudományos és más természetû problémákat.
A napjainkig feltárt levelek csak elvétve tartalmaznak matematikai szövegrészeket. (A nevezetes temesvári levéllel itt nem foglalkozunk, azt már sokan elemezték.) A közreadók, mivel nem voltak járatosak a matematikai ismeretekben, és tartottak a szaknyelv buktatóitól, kerülték a matematikai természetû fejtegetéseket. Jogosan, hiszen a Bolyai-levelek kibetûzésekor nemcsak az íróik által használt sajátos elnevezések és jelölések megfejtésével, de a szövegekben rejlô matematikai tartalom megértésével is meg kell birkoznunk. A Bolyai János és Farkas által bevezetett olyan szavak, mint "okadat", "mértárs", "elegyes-" vagy "edi-nyi" elôször még a szakember számára is különösnek tûnnek. Az ilyen fogalmak nem érthetôek a szövegekben megbúvó belsô összefüggések kihámozása nélkül. Jelentésüket aprólékos munkával, nemegyszer csak több kéziratlap összehasonlítása után bogozhatjuk ki.
A kéziratos hagyaték újbóli átvizsgálása során több olyan matematikai tartalmú levél is elôkerült, amely a kutatók figyelmét nem keltette fel, vagy amelyeket a fenti okok miatt egyszerûen mellôztek. (Ha mégis vállalkoztak ilyen levelek közlésére, néha bántó elírások jelentek meg a szövegek matematikai képleteiben. Bolyai Farkas például az 1-es számjegyet következetesen i-nek írja. Ha ezt nem vesszük figyelembe, akkor már használhatatlanná válik a formula.6 Azok a matematikai levelek, amelyeket eddig méltatlanul elhanyagoltak (amiért természetesen a szakmabelieket okolhatjuk), jórészt figyelemre méltóan komoly hangú, tényközlô írások. Némelyiket kisebb értekezésnek is tekinthetjük, de szinte mindegyik tartalmaz apró tanácsokat, néhány személyes vonatkozású közlést is. "Szüvösen köszönve a herpesre nézti tudakozódást és holnaprai invitációt" — kezdi levelét Bolyai János, de csakhamar rátér a tárgyra: "Az pedig, hogy ha p prím s a q nagyobb egynél..."7 Farkas elôször arról tudatja fiát, hogy "A templomban hosszú prédikátzió alatt hajadonfôn Grippét kaptam...", s csak azután kérdezi meg: "Láttad-e valahol: hogy ha p prímszám, s a-nak p nem factora?..."8 Egyik levelében, hosszú matematikai számítások végén, az idôs Bolyai így kesereg: "Az aequinoctiummal [napéjegyenlôség — K.E.) változásaim vannak — s minden reggel egy darabig kell harcolnom, hogy a bút egy napra legyôzzem — sem itt nem tudok maradni, sem elmenni — csak a halál vághatja ketté a már oldatlan bogot. Ennyi minden bú feledés közt is egy szomorú jelentést kelle írnom B. Kemény Pálné kérésére..."9 Gyakran panaszkodik álmatlanságra. "Néhány éjszaka az ajtó elébe jött kutyák lármája miatt nem alhattam" — írja egyik alkalommal, de levelének legfontosabb mondanivalója, hogy "A 4n+1 csak a Petersburgi Actacban van (Gausson kívül)..."10
Szóltunk arról, hogy Bolyai Farkas kedvelte a levélírást. Az ifjú János ritkábban ült asztal mellé ezzel a szándékkal, legalábbis kevesebb fiatalkori levelét ismerjük. Ha a matematikai tartalmú leveleket vesszük számba, mintha megfordulna ez az arány. Mindenesetre Jánosnak több matematikai kérdéssel foglalkozó levelét találtuk meg, mint apjáét. Sôt nemegyszer azt is megsejtettük, hogy Bolyai János több, idôs korából származó levele elkallódott. Az elôkerült leveleket olvasva ugyanis mindegyre olyan levelekre való hivatkozásokba ütközünk, amelyeket hiába keresünk. Még fájdalmasabban érint Bolyai Gergely (Bolyai János féltestvére) 1884-bôl származó írása, amelyben beismeri, hogy Farkas és János sok matematikai tartalmú levelét megsemmisítette.
Feltûnô, hogy János az apjának küldött levelekben nem a más kéziratlapokon elôszeretettel alkalmazott, maga által alkotott betûket használja. Úgy látszik, nem akarta terhelni apját, ezért leveleinek fogalmazásakor megelégszik az ábécé szokásos betûivel. Leveleinek nagy része gondosan megfogalmazott, szépen lemásolt szöveg. Azért elôfordul néha, hogy "nyakra-fôre sietve" csúnyán ír. Ezt ô is beismeri: "A küldött demonstratiom bár is rútul írva..."11 Máskor, ha túl sok a tennivalója, nem ér rá rendbe szedni gondolatait. "Ez egész demonstratiokat — írja — lehet s kell szép logikai renddel különbözô osztály s alosztályokkal elôadni: mire most nem érkezem." 12
Mirôl tanúskodnak az eddig fel nem tárt levelek? Találunk bennük értékes feljegyezni valót? Nos, ha ezeknek a leveleknek a mélyére hatolunk, több meglepetésben lesz részünk. Rádöbbenünk arra, hogy még mindig vannak fehér foltok a Bolyai-kutatás térképén. Még ma, 1998-ban is hiányosak az ismereteink az Appendix tudós szerzôjérôl és apjáról.
Kéziratos hagyatékának más oldalait is számba véve rácsodálkozhatunk Bolyai János olyan, eddig nem ismert, vitathatatlan értékû — kidolgozott vagy töredékes — matematikai gondolataira, amelyek a marosvásárhelyi Teleki—Bolyai Könyvtár polcain vártak feltámadásra. Vallatóra fogva feljegyzéseit egy árnyaltabb, színesebb, teljesebb Bolyai-kép rajzolódik ki elôttünk.
A leveleket forgatva elsôsorban arról értesülünk, mennyire téves az a köztudatba mélyen begyökerezett vélemény, amely szerint Bolyai János ízig-vérig geométer, hogy mindig mély geometriai szemléletére támaszkodott, eredményei és eredeti gondolatai is mindig geometriai tartalmúak. Többé nem fogadhatjuk el azt az állítást, amely szerint Jánosnak a matematika más fejezeteiben végzett kutatásai nem vezettek sikerre. Levelei arról gyôznek meg, hogy ennek éppen az ellenkezôje igaz. Bolyai János újabban felszínre került legtöbb levelében ugyanis nem geometriai, hanem számelméleti kérdésekkel találkozunk, és sokoldalúságát bizonyítják az algebra, valamint az analízis kérdéseit boncolgató írásai. Számelméleti felfedezéseivel sok esetben megelôzte késôbbi korok matematikusainak munkáit. Ugyanakkor, mivel nem ismerte a már létezô szakirodalmat, olyan feladatokat is sikerült megoldania, amelyeket elôtte vagy vele egy idôben dolgoztak ki és közöltek különbözô folyóiratokban szerencsésebb körülmények között tevékenykedô kortársai.
A következôkben ezekbôl mutatunk be néhányat.
Számelméleti feladatok megoldására édesapja biztatta Jánost. (Errôl már Paul St-ckel13 is beszámol, csakhogy ô valósággal lebeszél Bolyai ilyen természetû vizsgálatainak kutatásáról, amikor fontos monográfiájában megjegyzi: "Bolyainak a tárgyra vonatkozó följegyzéseivel nem érdemes behatóbban foglalkoznunk."14 Farkas 1855. május 2-án keltezett levelében azt kérdezi fiától: "Láttad-e valahol: hogy, ha p prímszám s a-nak p nem factora, úgy az kép alá jön (m számot téve). Csak annyit izenj, hogy láttad-e, vagy nem? de ne hagyd semmi dolgod félbe."15 Az édesapa az ún. kis Fermat-tétellel16 kapcsolatosan érdeklôdik fiától. János az üzenet helyett rövidesen egy érdekes levélben válaszol apjának: "A tegnapelôtt igért =re nézve — írja — ugyan ezelôtti vizsgáimat hirtelen nem kaphatván elé, vagyis inkább akarván újból gondolkozni rajta, még tegnap tisztába jöttem mire nézve itt rövidségért, bôvebb tárgyalást mellôzve a fô dolog iránti kétely és nyugtalanság eloszlatására elég már a következôket közölni [...], hogy éppen [...]2340-1 oszlik 341-gyel, pedig 341=11.31 [...]"17
Levelében Bolyai János azt mutatta meg, hogy a kis-Fermat-tétel megfordítása nem érvényes, s így ez a tétel nem szolgáltat egy olyan képletet, amely jellemezné a prímszámokat. Ô ugyanis sokat veszôdött ezekkel a számokkal. "Az egész számtan, sôt az egész tan mezején — sóhajt fel — alig van szebb és érdekesebb [...] mint a prímszámok oly mély homályban rejlô titka."18 Hosszú idôn át kereste a prímszámok képletét. Kísérletei nem vezet(het)tek eredményre (ma sem ismerünk ilyen képletet), de ezek során egy fontos felfedezést tett. Nevezetesen rábukkant a legkisebb álprímszámra, a 341-re. (Az olyan összetett számokat, amelyek teljesítik a kis Fermat-tételt, álprímeknek nevezzük.) Ezek a különleges számok több matematikus figyelmét lekötötték. Kutatásuk azonban csak a 20. században teljesedett ki, és napjainkban is tart. Bolyai egyik kezdeményezôje lehetett volna ennek a kutatásnak, ha észrevétele nem süllyed el kéziratainak sokaságában.
Miképpen találta meg Bolyai János a 341-es számot? Levelében csak azt jelzi, hogy több próbálkozás után lelt rá, "de még sem vaktában, hanem elmélet"19 segítségével. Miután "elméletét" egy német nyelven írt régebbi kéziratlapról20 megértjük, hamarosan rájövünk arra, hogy ez egy olyan számelméleti tétel, amelyet J.H. Jeans21 neves angol matematikus-fizikus-csillagász Bolyai halála után 40 évvel közölt nyomtatásban. Emiatt az elôször Bolyai által megfogalmazott tulajdonságot Jeans-tétel néven ismeri a matematikus világ. A tételt minden kétséget kizáróan Bolyai János írta le valamikor az 1840-es években, ha nem még korábban. Számításai — mint oly sok más munkája az Appendixen kívül — csak kéziratban maradtak fenn. A tudományok története több olyan tudóst tart számon, akiknek felfedezései életük folyamán nem váltak ismertté, azokat csak kézirataik ôrizték meg, s hagyatékuk késôbbi átvizsgálása hozta felszínre. Nincs ez másképpen a matematikai tudományokban sem. Ilyen esetben az elmélet vagy tétel természetesen annak a nevét viseli, aki elsôként tette közzé. Ez lett a sorsa ennek a szép Bolyai-tételnek is.
Bolyai Farkas egy másik, 1854. április 15-e után kelt levelében saját bizonyítását mutatja be Jánosnak. Munkájáért fiától ellenszolgáltatást kíván. "Cserébe a 4n+1 alakú prímek legegyszerûbb demonstratiojat várom"22 — jegyzi fel levelének elsô oldalán, kérve ezzel Fermat karácsonyi tételének23 bizonyítását. A szóban forgó tételt elôször Fermat fogalmazta meg, és egy, 1640. december 25-én kelt levelében tudatta barátjával. Innen a "karácsonyi tétel" elnevezés. Fermat tételét L. Euler24 bizonyította jóval késôbb, 1754-ben. Euler dolgozatát Bolyai Farkas a Teleki Tékában — ahol "...kedvesen lehet elálmodni az alig kiállható kedvetlen életet..."25 — olvasta. (Ma is megtalálható a Tékában. Egy, 1754-bôl származó, Szenpéterváron nyomtatott vaskos folyóirat 55 oldalát foglalja el.) Minden bizonnyal hosszúnak és bonyolultnak találta Euler fejtegetéseit, s ezért szólította fel fiát, hogy kísérelje meg a tétel egyszerûbb igazolását. János megfogadta apja tanácsát, s egy levélben, mindössze két oldalon mindjárt négyféle bizonyítást is bemutatott.26 Gondolatmenetében a leginkább szembetûnô az a módszer, amelyet alkalmaz. Ô ugyanis a komplex egészek27 oszthatóságának elméletét veszi igénybe, és ezért sikerült egyszerûsítenie és lerövidítenie a bizonyításokat.
Természetesnek tarthatjuk, hogy azokban az években Bolyai a komplex egészeket alkalmazta, hisz ekkorra ezt az elméletet Gauss már kidolgozta és publikálta is. Errôl viszont Bolyai nem tudott, úgyhogy munkájában a komplex számokra vonatkozó saját elméletét használta fel, amelyet Gausstól függetlenül és vele egy idôben szintén felfedezett. A kijelentés valószínûleg meglepi a matematika történetében járatos olvasót. Ha tüzetesen átolvassuk a matematikai tárgyú leveleket, átvizsgáljuk a hagyaték sok oldalát, feloldjuk a Bolyai-jeleket, és egyberakjuk a különbözô kézirat-mozaikkockákat, egy egységes elmélet bontakozik ki elôttünk. Meggyôzôdünk arról, hogy a komplex számok aritmetikája is a Bolyai-mû szerves része. Megjegyezzük, hogy a Responsio címû ismert munkájában Bolyai János a komplex számok más tulajdonságait vizsgálta. Itt csak egyik rövid vallomását említjük, amely félreérthetetlenül megvilágítja az elmondottakat: "Kezdettôl fogva éreztem annak szükségét, hogy az imaginárius számokat a számelméletbe is fel kell venni, vagyis ezekre is ki kell terjeszteni, s az óhajtott siker érdekében már régóta némely fontos vizsgálatot alkalmaztam."28
Apa és fiú levelezésének bizonysága szerint a számelméleti feladatok Bolyai Farkast is foglalkoztatták. Nem csupán kérdésekkel ostromolta fiát, hanem ô maga is több — akkoriban újdonságnak számító — tételt bizonyított be. Eredményeirôl János is elismerôen nyilatkozott: "Az oly szép és fontos Wilson-tétel29 fordítottját apám és én bebizonyítottuk."30 Egy másik alkalommal ezt írja apjáról: "A Wilson-tan fordítottjának is szigorú, bár is nem rövid okát [bizonyítását — K.E.] adta."31
Eddig úgy tudtuk, hogy a magyar matematika a múlt század utolsó negyedéig nem tud felmutatni említésre méltó számelméleti eredményeket.32 Ha számba vesszük Bolyai Farkas és Bolyai János írásait, akkor a magyarországi számelméleti kutatások kezdetét mintegy fél évszázaddal elôbbre kell helyeznünk. Ezek Magyarországon valójában a két Bolyai tevékenységével kezdôdtek meg. Munkájuk eredménye azonban eddig nem vált közkinccsé. Még a jóbaráthoz, Gausshoz sem jutott el. Felfedezéseikrôl kettejükön kívül senki más nem tudott, immár 140 éve. Amint láttuk, János olyan új gondolatokkal gazdagította a számelméletet, amelyekre más matematikusok csak utána, évtizedek múlva gondoltak. De mivel ezek nem váltak ismertté, nem is lehettek hatással a tudomány fejlôdésére. Ha alkalma lett volna ezeket publikálni különözô folyóiratokban vagy könyvekben, bizonyára jótékony befolyást gyakoroltak volna mind a magyar, mind a nemzetközi számelméleti kutatásokra.
A levelekbôl azt is megtudjuk, hogy a számelmélet más érdekes feladatai mellett Bolyai Jánost egy, a legkiválóbb matematikusokat évszázadokon át izgalomban tartó algebrai feladat is foglalkoztatta. Ez az algebrai egyenletek megoldhatóságának kérdése volt (vagyis az algebrai egyenletek gyökképlet segítségével történô megoldása). Az elsô- és másodfokú egyenletek — középiskolában is tanított — megoldási módszerét lényegében már a régi babiloniak is ismerték. A harmad- és negyedfokúak megoldása gyökképlettel csak a 16. században sikerült olasz matematikusoknak. Ezután nem létezett egyetlen jelentôs szakmabeli sem, aki ne próbálta volna algebrailag megoldani az ötöd-, hatod- és magasabb fokú egyenleteket. Ezek az erôfeszítések azonban sorra kudarcot vallottak. Az évszázadok elôrehaladtával mind több és több matematikus fejét megjárta, hogy talán nem is létezik megoldóképlet az ötöd- és magasabb fokú egyenletekhez. Határozott formában ezt elôször Ruffini33 jelentette ki 1799-ben, és kísérletet tett a bizonyításra is. Munkája azonban hiányos volt. Negyedszázad múlva, 1826-ban aztán Abelnek34 sikerült hibátlan gondolatmenettel bebizonyítania azt a tételt, amely szerint a négynél magasabb fokú algebrai egyenletek algebrai úton általában nem oldhatók meg.
Amint leveleibôl és kézirataiból kiviláglik, Bolyai János is nagy szenvedéllyel vizsgálta az egyenletek megoldhatóságának kérdését. 1837-ben "domáldi remetesége" idején kezd foglalkozni a témával. "Már még 1837-ben — írja egy késôbb keletkezett jegyzetben — fordítottam különös figyelmemet e tárgyra, keményen neki állottam, vetettem magam ezen erôs, sôt megvíhatatlan vár ostromának..."35 Tehát amikor ezeket a sorokat papírra veti, a matematikusok már ismerik a Ruffini—Abel-tételt. János egész életében nem értesült Abel 1826-os dolgozatáról, érdekes viszont, hogy Ruffini hibás bizonyítását egy Bécsben 1827-ben kiadott algebratankönyv közvetítésével megismeri. Az okoskodásban rejlô hibát, azt "nyomról-nyomra követve" hamar észreveszi. "...miben mindjárt elsô látásra sejtettem a hibát"36 — írja, amihez késôbb még hozzáteszi: "A Ruffini oka [bizonyítása — K.E.], bizonyja a [...] lehetlenségrôl erôtlen vagy rossz, vagy csak képzelt."37 Jó algebrai érzékrôl tanúskodó meglátása egy ideig félrevezeti Bolyait. Ha hibás a Ruffini-tétel — gondolja —, akkor megoldhatók az ötödfokú, sôt a magasabb fokú egyenletek is, és sokáig bizonytalan úton járva, másokhoz hasonlóan ô is kísérletet tesz erre. Megkezdte egy dolgozat megfogalmazását a következô címmel: "A Föld eddigi legnagyobb tiszteletû s legcolossalisabb nyiászai [matematikusai — K.E.] által lehetetlennek tartott [...] sôt képzeltképpen némelyek által lehetetlennek is bizonygatott minden rendû és rangú, bármely megadott algebrai egyenletnek algebrai föloldása módja vagy útja."38 Késôbb ráébred próbálkozásai hiábavalóságára, kijavítja a Ruffini munkájában lévô hibát, s kijelenti, hogy a négynél magasabb fokú egyenletek algebrailag nem oldhatók meg. Fia, Bolyai Dénes 1851-bôl való írásgyakorlatára odavetett sorok már világosan mutatják, hogy a problémát teljes egészében tisztázta: "Az 5 s fölsôbb rangú egyenlet általános föloldása lehetlenségét két módon tudom megbizonyítani..."39 A feldolgozatlan kéziratokon állandóan felbukkanó feljegyzéseibôl megbizonyosodhatunk tehát, hogy Bolyai János is sokat töprengett e fontos feladat megoldásán, azt azonban nem tudta, hogy elôtte már mások is próbálkoztak ezzel.
A két Bolyai levelezésében még számos más matematikai problémát érint, amelyekre most nem térünk ki. Az érdeklôdô olvasó ezeket különbözô szakfolyóiratokban közölt tanulmányainkban40 megtalálhatja. A továbbiakban a levelek segítségével a Bolyai-irodalomban jelenlévô néhány téves vélemény kiigazításához szeretnék még hozzájárulni.
A leveleket — e hiteles forrásokat — olvasva újból érezzük, hogy módosításra szorul a Bolyai-írásokban oly sokszor emlegetett "apa—fiú viszály"-ról kialakult kép, amely sajnos több szépirodalmi "mû" hatására is elmélyült a köztudatban. Meglehet, hogy amint Bolyai János is ôszintén megvallja: "...némely tárgyban ezelôtt mindketten szerfölött sokképpen lévén elfoglalva, elég értekezhetés hiánya miatt nem egészen egyeztünk meg"41, de ez korántsem magyarázza a szülô—gyermek viszonyról elterjedt oly sok elmarasztaló írást. A leveleket nem a gyûlölet, hanem az egymás iránt érzett ragaszkodás, aggódás, tisztelet szövi át. Nem megalapozott az a hiedelem, amely szerint, miután ismét egy városban éltek, kerülték volna a találkozást, s csak levelek útján érintkeztek egymással. A mindeddig nem ismert levelekbôl éppen azt olvashatjuk ki, hogy sokszor felkeresték egymást. Idézzünk csak néhány mondatot: "...holnap délután oda is ügyökszöm"42, vagy "...addig is míg magam oda mennék..."43 — írja János. Azt a levelét, amelyben tudatja apjával, hogy 211-1 = 23.89, a következô mondatfoszlánnyal fejezi be: "...és éppen innen említém a Kali44 ottlétekor, hogy Wolfius hibásan állítja".45
Látogatásaik sûrûbbek is lehettek volna, de néha ez valamilyen akadályba ütközött. Milyen szépen menti ki magát János egyik alkalommal: "Nagyon köszönöm a meglátogatni kívánást. De csak úgy, hogy legkisebb alkalmatlansággal se történjék, kivált ezen mostoha, vad, zordon, savanyú, kellemetlen s egészségtelen idôben, bármint kivánnám is különben találkozni..."46 "Meglátogatnálak, de nem merek akkora úthoz fogni"47 — panaszkodik az idôs Farkas. Bolyai Jánosnak egész életében csak egyetlen olyan tudóstársa volt, akivel megoszthatta gondolatait: édesapja. Már ez is elég nyomós ok arra, hogy szüntelenül keressék egymást. Környezetükben tudományos felvilágosításért senki máshoz nem fordulhattak. A levelek nem helyettesíthették és nem is helyettesítették az állandó élô párbeszédet. Sok levél találkozásaik s beszélgetésük után született. Milyen szerencse, hogy tudományos gondolataikat, elért eredményeiket levelekben rögzítették. Ha János nem levélben válaszol apja kérdéseire, akkor ma igencsak szegényebbek volnánk az ôket foglalkoztató matetmatikai problémákat illetôen. Vekerdi László látja jól: "A Bolyaiak — apa és fiú — nem holmi provinciális nyomorba süllyedt, kínjukban egymást tépô szerencsétlenek: alakjuk és sorsuk — gyönyörû levelekkel dokumentált harmóniájukban — az európai gondolkozás fô áramába tartozik, szervesen és kitéphetetlenül."48
Nem érthetünk egyet Bolyai János életrajzírói közül azokkal sem, akik szerint János alkotóképessége már korán kimerült, vagy hogy idôsebb korában lanyhult volna érdeklôdése a matematikai kérdések iránt. Levelei és más írásai beszédes cáfolatai ezeknek a véleményeknek. Bolyai János utolsó éveiben is tiszta fejjel gondolkozott matematikai problémákon. Számelmélettel kapcsolatos jegyzetei fôképpen az 1850-es évek derekán készültek, amikor már elég idôs volt.
Bolyai János életében — amint már említettük — csak egyetlen mûve, az Appendix jelent meg nyomtatásban. Apjának küldött több levelében kifejezi azt a kívánságát, hogy munkáit szeretné kiadni. De amint erre többször kitér, addig kell várnia, amíg tökéletesre tudja "fényesíteni" azokat. 1844-ben, Domáldon keletkezett egyik levelében így ír: "Én elhatározám magamban, hogy elöljáróúl s némi elô-ízletül bocsássak elôre haladék nélkül mihelyt Kolozsvárról visszakerülök magyarul is (gondolom a Magyar Tudós Társasághoz küldendôül), németül is (mint Gaussnak küldendôt) egy kis terjedelmû munkát [...] némi jeléül annak, hogy korántsem aludtam el életemet [...]. Csak az a fatalis körülmény szúr, fúr most is, mi tanaim kiadásától eddig is mind el-tartott, hogy a tan még TÖKÉLYES rendben, idomban nincs, vagyis még kijelelése is nem tökélyes. Bármily tökélyesen tudja is az ember mind értésre, mind kijelelésre nézve, de ha az olvasót is meg nem barátkoztatta még a helyes nyelvvel, oly mind mikor egy darázsfészekbe nyúl az ember."49 Elméje minden kicsiszolt termékét a köznek szánja, de beismeri, hogy milyen sok gyötrôdéssel jár gondolatainak formába öntése. Saját magával szemben támasztott túlzott igényessége miatt hosszú ideig nem fogalmazta meg tudományos gondolatait, s ezért késett a nyilvánosság elé tárni azokat. "Azonban — fogadkozik újból apjának — közelít azon határidô, mikor már elérve a kitûzött célt, a meglévô anyagot kezdem kireszelve, simítva, fényesítve (mi utóbbi azonban nem a szemnek, csak a tanban jó) egyszóval kimüvölve, tökélyesítve tisztára és kitelhetô jól és kellemesen olvashatólag írni."50
Bolyai János, bármennyire elszigetelten dolgozott is, tudott arról, hogy akkoriban más országokban már léteztek színvonalas matematikai folyóiratok. Leveleiben említi, de egyéb kéziratlapokon is fel-felbukkan a Crelle51 által szerkesztett Journal der Mathematik und Physik és a Grunert52 által alapított Archiv der Mathematik und Physik neve. Tervezte, hogy írásaival felkeresi ezt a két lapot. Sajnos erre nem került sor. "Reménylem — bizakodik már idôsen — csak némi egészségre tehessek szert, nyitok én kaput magamnak egyéb nagyobb- és lényegesebbekkel..."53
Érdemes felfigyelnünk Bolyai Farkas egyik, 1844 körül írt levelére, amelyben kiadási terveirôl tájékoztatja Jánost, és közremûködésre szólítja fel: "...hátha magad költségén, az enyimnek végére az imagináriumok theoriáját [...] oda tennéd?"54 Ezt a kérdést Farkas azért intézte fiához, mert János a komplex számokra célozva azt írta egyik elôzô levelében, hogy "tökélyes és teljes tanomat is nemsokára szándékozom közre-bocsátani".55 Nem ismerjük János válaszát a kihívásra, de ha megfogadja apja tanácsát, az Appendix mellett még életében megjelenhetett volna nyomtatásban második munkája is. Igaz, ez is csupán egy "függelék" lett volna.
Bolyai János kéziratos hagyatékát lapozva számos esetben tapasztaljuk, hogy igen hasznos az eredeti források alapján ellenôrizni más szerzôk állításait. Íme, egy példa. Bolyai Farkas egyik kései levelében, 1855-ben így panaszkodik: "Azóta mind olyan rosszúl és fonákul vagyok, hogy írásodat nem ítélhetvén meg kérdésedre visszaküldöm. A -nek conversaja jónak látszó demonstratiojat se merem állítani, úgy elvesztettem magamra nézve is hitelemet — amidôn egy más igen szép gondolatomat is félszegnek találtam."56 A második mondat végét Bedôházi János57 nyomán Alexits György is idézi, de hibásan. Szerinte a mondat utolsó szavai: "...igen szép gondolatomat is félszegnek találtad".58 A "találtam" szónak a "találtad"-dal való felcserélése a mondat értelmét teljesen megváltoztatja, s így a belôle leszûrhetô következtetéseket is. Sajnos Alexits ebbôl a félreértett félmondatból kiindulva János apjával szemben tanúsított tapintatlanságára, fölényeskedésére tesz elmarasztaló megjegyzéseket, s ezzel tovább rontja a már eléggé megtépázott apa-fiú viszonyról kialakult képet. Intô példa lehet ez minden szerzônek. Kerülje a másod- és harmadlagos forrásokat, mert ha kutatása tárgyáról megbízható, pontos képet akar rajzolni, csak az elsôdlegesekbôl érdemes meríteni.
JEGYZETEK
1. Bolyai-levelek (Benkô Samu gondozásában). Kriterion Könyvkiadó. Buk., 1975. 5. (A továbbiakban B-lev.)
2. Pierre de Fermat (1601—1665), francia jogász és amatôr matematikus.
3. Carl Friedrich Gauss (1777—1855), német matematikus, Bolyai Farkas barátja.
4. Bolyai János élete és mûve (Tanulmánykötet). Állami Tudományos Könyvkiadó. Buk., 1953. 374—421. (A továbbiakban B.J. élete és mûve.)
5. Bolyai Farkas tíz levele (Közli Benkô Samu). Igaz Szó. 1975. 3. sz. 262—273; B-lev.; Bolyai János vallomásai. Kriterion Könyvkiadó. Buk., 1972.
6. B.J. élete és mûve. 413.
7. Bolyai János kéziratos hagyatéka. Teleki-Bolyai Könyvtár, Marosvásárhely, 746/1. (A továbbiakban B-hagy.)
8. B-hagy. 1358/1.
9. B-hagy. 1117/2.
10. B-hagy. 1521/1,1v.
11. B-hagy. 1014/1.
12. B-hagy. 495/2.
13. Paul St-ckel (1862—1919), német matematikus, az elsô Bolyai-monográfia szerzôje.
14. Paul St-ckel: Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai. I. Bp., 1914. 175.
15. B-hagy. 1358/1.
16. Ha p egy prímszám, a egy olyan egész szám, amely nem osztható p-vel, akkor ap-1-1 különbség osztható p-vel. Például 212-1=4095 osztható 13-mal.
17. B-hagy. 1018/1.
18. B-hagy. 1199/3v.
19. B-hagy. 1018/1.
20. B-hagy. 1265/3.
21. James Hopwood Jeans (1877—1946).
22. B-hagy. 1117/1.
23. Minden 4m+1 alakú prímszám két egész szám négyzetének összegeként írható. Például 13 (=4.3+1) = 22 + 32.24. Leonhard Euler (1707—1783), német matematikus, aki sok évet dolgozott Szentpéterváron.
25. B.J. élete és mûve. 402.
26. B-hagy. 1333/1, 1v.
27. Az a+bi (i = ) alakú komplex számot akkor nevezzük komplex egésznek, ha a és b egész számok. Ebben a számkörben is kiépíthetô, akár az egész számok sokaságában, az oszthatóság elmélete, vagyis beszélhetünk két komplex egész legnagyobb közös osztójáról, a prímekrôl és más fogalmakról.
28. B-hagy. 982/8v.
29. Ha p egy prímszám, akkor (p-1)!+1 osztható p-vel.
30. B-hagy. 1193/16v.
31. B-hagy. 895/9v.
32. Szénássy Barna: A magyarországi matematika története. Akadémiai Kiadó. Bp., 1970. 244 és 296.
33. Paolo Ruffini (1765—1822), olasz matematikus.
34. Niels Abel (1802—1829), norvég matematikus.
35. B-hagy. 143/3.
36. B-hagy. 1297/6.
37. B-hagy. 143/2v.
38. B-hagy. 1297/1.
39. B-hagy. 1293/1v.
40. Kiss Elemér: Mathematica Pannonica. Leoben—Pécs—Trieste. 1995. 237—242 és 1997. 293—295; Természet Világa. Bp., 1994. 9. 405—408 és 1996. 8. 344—348; Polygon. Szeged, 1996. 2. 1—11 és 1998. 1. 1—11; Matematikai Lapok. Kolozsvár, 1995. 9. 321—324; Octogon. Brassó. 1998. 1. 3—8.
41. B-hagy. 646/1.
42. B-hagy. 746/1.
43. B-hagy. 734/1.
44. Visti Kali Simon testvérével, Józseffel a marosvásárhelyi református kollégium nyomdájának legnevesebb mesterei. Ôk voltak a Bolyai-könyvek készítôi.
45. B-hagy. 1041/1v.
46. B.J. élete és mûve. 415.
47. B-lev. 219.
48. Vekerdi László: A Bolyai-kutatás változásai. Természet Világa. 1981. 2. 56—58.
49. B-hagy. 445/1, 1v.
50. B-hagy. 800/1v.
51. A.L. Crelle (1780—1855) 1826-ban indította és szerkesztette hosszú ideig a Journal der Math. und Physik címû folyóiratot.
52. J.A.Grunert (1797—1872) 1841-ben indította és szerkesztette az Archiv der Matematik und Physik címû folyóiratot. Ebben a folyóiratban jelenik meg elôször külföldön a két Bolyai neve, 1868-ban.
53. B-hagy. 742/3.
54. B.J. élete és mûve. 394.
55. B-hagy. 445/4v.
56. B-hagy. 1521/1v.
57. Bedôházi János, a marosvásárhelyi református kollégium tanára. A két Bolyai élete és munkássága címû munka (Marosvásárhely, 1897) szerzôje.
58. Alexits György: Bolyai János világa. Akadémiai Kiadó. Bp., 1977. 88.